Immaginiamo di avere un libro chiuso illuminato esattamente dall’alto: quando lo apro, la copertina proietta un’ombra sulla pagina sottostante e, via via che lo apro di più, quest’ombra si riduce di dimensioni.
Con la dovuta pazienza, potrei associare a ogni possibile angolo tra la copertina e le pagine una specifica lunghezza dell’ombra: inoltre, proprio perché la luce è esattamente perpendicolare al libro, l’ombra forma assieme alla copertina un triangolo rettangolo.
Posso quindi estendere il mio ragionamento su qualunque triangolo rettangolo: nota l’ipotenusa, cioè il lato più lungo del triangolo rettangolo (quello opposto all’angolo retto), posso associare a ciascun angolo la lunghezza del cateto (uno dei due lati minori) adiacente.
Non solo, posso virtualmente lavorare anche con l’altra coppia angolo-lato e posso anche trovare una relazione tra lati e angoli opposti.
Una volta accettato che questo è possibile, però, resta da trovare queste relazioni: si tratta di alcune funzioni (come quelle polinomiali delle quali abbiamo parlato qui) i cui valori non si trovano con semplici passaggi aritmetici, ma sono stati trovati nel tempo tramite considerazioni geometriche, approssimazioni numeriche e misure di triangoli costruiti concretamente.
Si tratta delle funzioni Seno e Coseno: ciascuna funzione parte dal valore di un angolo e fornisce il risultato di un rapporto tra lati.
Coseno di un angolo = Lato adiacente / ipotenusa
Seno di un angolo = lato opposto / ipotenusa
Per trovare quindi il seno e il coseno di un angolo, posso costruirmi un triangolo rettangolo che contenga tale angolo e poi andare a calcolare i rapporti tra i lati.
Se due angoli assieme fanno 90° allora il loro Seno e Coseno sono scambiati, come si evince anche da questa tabella di angoli fondamentali:
- Angolo 0°: Coseno 1, Seno 0
- Angolo 30°: Coseno √3/2, seno ½
- Angolo 45°: Coseno √2/2, Seno √2/2
- Angolo 60°: Coseno ½, Seno √3/2
- Angolo 90°: Coseno 0, Seno 1
Più l’angolo cresce, più il suo lato adiacente (coseno) si riduce e quello opposto (seno) aumenta, fino ai casi limite di 0 e 90° nei quali il triangolo si riduce a un segmento.
Finora questi ragionamenti sembrano poco utili: sapendo però i valori di seno e coseno di vari angoli (che le calcolatrici sanno bene) è possibile a questo usarli per trovare i rapporti tra i lati di un qualunque triangolo rettangolo, nota l’ipotenusa e almeno un angolo acuto, ribaltando le equazioni iniziali.
- Cateto adiecente = Ipotenusa per coseno
- Cateto opposto= Ipotenusa per seno
Quindi ad esempio, se io ho un triangolo rettangolo di ipotenusa 10 e so che l’angolo più piccolo è 30°, sono in grado di trovare i due cateti: quello adiacente (lungo) sarà pari all’ipotenusa per il coseno, quindi 10 per √3/2 che fa circa 8,6; quello opposto (corto) sarà pari all’ipotenusa per il seno, quindi 10 per ½ che fa 5.
Avrei potuto prendere anche l’altro angolo, di 60° (la somma degli angoli interni di un triangolo è infatti 180° e in un triangolo rettangolo uno dei tre è sempre 90°): il ruolo di cateto adiacente e opposto si sarebbero scambiati, ma anche i valori di seno e coseno, dandomi quindi gli stessi risultati per il lato lungo e corto.
Un’altra utile funzione è la tangente di un angolo, cioè il rapporto tra il seno e il coseno: è facile dimostrare che essa sia anche pari al rapporto tra i relativi cateti.
Seno, coseno e tangente si estendono matematicamente oltre l’intervallo tra 0 e 90°: per farlo di solito si utilizza una seconda maniera di esprimere gli angoli, detta radianti, nella quale a 360° corrisponde un intervallo lungo due volte pi greco.
I valori di seno e coseno oscillano quindi tra i valori di 1 e -1 via via che il loro argomento (cioè l’angolo o il suo equivalente) prosegue Iungo tutta l’asse dei numeri reali: per questo motivo seno e coseno sono fondamentali per la descrizione di fenomeni oscillatori come le onde elettromagnetiche.
Inoltre nell’intervallo tra 0 e 90° (ma anche nell’altra metà negativa) non solo è possibile identificare, per ogni valore dell’angolo, i relativi valori di seno, coseno e tangente, ma anche l’operazione inversa, cioè partire da un valore goniometrico e recuperare il relativo angolo: le funzioni che fanno questo si chiamano arcseno, arcocoseno e arctangente.
Per fare un esempio, se io so che il seno di un angolo è ½ (cioè il cateto opposto all’angolo è la metà dell’ipotenusa), io posso calcolare l’arcseno di ½ che è pigreco/6, ovvero un angolo di 30° espresso in radianti.