Scienza&Giochi – Proiettili!

Molti giochi fantasy e storici utilizzano archi, balestre e catapulte come armi per sconfiggere i nemici. Ma cosa succede davvero quando una freccia viene scagliata da un arco o un enorme masso viene lanciato da una catapulta? In questo articolo esploreremo il cosiddetto moto del proiettile, ovvero quel tipo di moto che compie un oggetto scagliato sottoposto alla gravità di un pianeta

Cos’è il moto del proiettile?

Il moto del proiettile è il movimento di un oggetto lanciato nello spazio e soggetto alla sola forza di gravità (in assenza di resistenza dell’aria, per semplicità). Questo tipo di movimento segue una traiettoria parabolica. Un esempio di moto del proiettile si verifica quando un arciere scocca una freccia o una catapulta lancia un masso contro una fortificazione.
Questo moto ha la caratterisgtica di essere l’effetto risultante di due moti separati: possiamo cioè scomporre questo moto in due “componenti” esattamente come potremmo immaginare un salto in avanti come la combinazione di un salto verso l’alto e di un moto in avanti.

1. Moto orizzontale: avviene lungo la direzione parallela al terreno ed è un moto rettilineo uniforme (con velocità costante).
2. Moto verticale: avviene lungo la direzione perpendicolare al terreno ed è un moto uniformemente accelerato, con l’accelerazione dovuta alla forza di gravità (circa 9,8 m/s²).

La conservazione dell’energia nel moto del proiettile

Il moto del proiettile può essere analizzato anche attraverso il principio di conservazione dell’energia. Quando un oggetto viene lanciato, l’energia cinetica iniziale, dovuta alla velocità con cui viene scagliato, si trasforma parzialmente in energia potenziale gravitazionale mentre il proiettile sale verso il punto più alto della sua traiettoria. Al punto massimo, l’energia potenziale è massima, mentre l’energia cinetica è ridotta alla sola componente orizzontale. Durante la discesa, l’energia potenziale si riconverte in energia cinetica, che raggiunge il suo valore massimo poco prima dell’impatto con il suolo. Questo scambio continuo tra energia cinetica e potenziale avviene in modo tale che l’energia meccanica totale del sistema rimanga costante, trascurando gli effetti della resistenza dell’aria. Questo principio è alla base della fisica del moto del proiettile e si applica tanto a una freccia lanciata da un arco quanto a un masso scagliato da una catapulta.

Parametri iniziali

Quando un arciere scocca una freccia, la freccia viene lanciata con una certa velocità iniziale che ha una componente orizzontale e una verticale. La componente orizzontale determina quanto lontano la freccia andrà, mentre la componente verticale influisce sulla sua altezza massima e sulla durata del volo.

• Angolo di lancio: Un aspetto cruciale del moto del proiettile è l’angolo di lancio. Se si vuole massimizzare la distanza percorsa dalla freccia, l’angolo ottimale di lancio rispetto al suolo è di 45 gradi. Tuttavia, in battaglia, gli arcieri regolano l’angolo in base alla distanza del bersaglio e alle circostanze.
• Velocità iniziale: La velocità con cui si tende l’arco influisce sulla velocità iniziale della freccia. Più si tende l’arco, maggiore sarà l’energia accumulata e quindi la velocità iniziale della freccia. Nei giochi, come in “Skyrim” o “The Witcher”, i giocatori possono controllare la forza del tiro per influenzare la distanza e l’impatto del colpo.

Catapulte e lancio di massi

Le catapulte, che si trovano spesso in giochi come “Age of Empires” o “Total War”, utilizzano lo stesso principio fisico del moto del proiettile, ma su una scala molto più grande.

• Forza di lancio: Una catapulta funziona come una gigantesca leva, con una forza che viene esercitata per lanciare un grosso masso. La velocità iniziale del proiettile dipende dall’energia accumulata durante la tensione del braccio della catapulta.
• Traiettoria parabolica: Anche in questo caso, il masso segue una traiettoria parabolica. L’angolo di lancio è importante per determinare se il proiettile andrà a colpire un bersaglio vicino o uno distante. Proprio come per le frecce, l’angolo ottimale per raggiungere la massima distanza è di 45 gradi, ma in battaglia l’obiettivo è spesso colpire bersagli specifici piuttosto che massimizzare la distanza.

L’effetto della gravità sul moto del proiettile

Quando una freccia o un masso vengono lanciati, la forza di gravità inizia immediatamente a farli accelerare verso il basso. Questo significa che la componente verticale della velocità diminuisce gradualmente mentre il proiettile sale, fino a diventare zero al punto più alto della traiettoria. Dopodiché, la componente verticale della velocità aumenta nuovamente mentre il proiettile scende verso il suolo.

Nel frattempo, la componente orizzontale della velocità rimane costante, poiché, in assenza di resistenza dell’aria, non ci sono forze significative lungo la direzione orizzontale.

In giochi come “Total War”, gli sviluppatori devono prendere in considerazione questa fisica per rendere il movimento delle catapulte e delle frecce realistico, creando animazioni che seguono la traiettoria parabolica e che variano in base all’angolo di lancio.

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Conclusione

Il moto del proiettile, che segue una traiettoria parabolica, è alla base di molte armi nei giochi storici e fantasy. Gli archi, le balestre e le catapulte sfruttano la combinazione di moto orizzontale e verticale per determinare il percorso e l’impatto dei loro proiettili. Capire il funzionamento di queste armi dal punto di vista della fisica può migliorare non solo la nostra esperienza di gioco, ma anche la nostra comprensione della scienza dietro di esse.

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BONUS: Trattazione matematica del moto del proiettile

Per comprendere meglio il moto del proiettile, possiamo analizzare le equazioni matematiche che descrivono il suo comportamento.

Componenti della velocità: La velocità iniziale, v₀, può essere scomposta in due componenti:

• Componente orizzontale: vₓ = v₀ × cos(θ), dove θ è l’angolo di lancio rispetto all’orizzonte.
• Componente verticale: vᵧ = v₀ × sin(θ).

Moto orizzontale: Il moto orizzontale è un moto rettilineo uniforme, quindi la distanza percorsa lungo l’asse x è data da:

x(t) = vₓ × t = v₀ × cos(θ) × t

Moto verticale: Il moto verticale è un moto uniformemente accelerato, soggetto alla gravità g:

y(t) = vᵧ × t – (1/2) × g × t² = v₀ × sin(θ) × t – (1/2) × g × t²

Altezza massima: L’altezza massima raggiunta dal proiettile si ottiene quando la velocità verticale diventa zero:

hₘₐₓ = (v₀² × sin²(θ)) / (2 × g)

Portata massima: La portata massima del proiettile, ovvero la distanza massima percorsa, è data da:

R = (v₀² × sin(2θ)) / g

La portata è massima quando l’angolo di lancio è di 45 gradi.

Conservazione dell’energia nel moto del proiettile: Un aspetto importante del moto del proiettile è la conservazione dell’energia meccanica (in assenza di resistenza dell’aria). Durante il volo, l’energia totale del proiettile rimane costante e si divide tra energia cinetica ed energia potenziale gravitazionale.
Per un corpo che parta e atterri dalla stessa altezza:

E_{cinetica iniziale} = E _{cinetica al vertice} + E _{potenziale al vertice} = E _{cinetica finale}

Al punto più alto della traiettoria, l’energia cinetica è minima (ma non nulla, poiché la componente orizzontale della velocità è ancora presente) e l’energia potenziale è massima. Al contrario, al momento del lancio e dell’impatto col suolo, l’energia cinetica è massima e l’energia potenziale è nulla.

Queste equazioni e principi spiegano perché un proiettile segue una traiettoria parabolica e come la velocità iniziale e l’angolo di lancio influenzano il movimento. La fisica del moto del proiettile è fondamentale per comprendere e simulare il comportamento delle armi da tiro in giochi come quelli fantasy e storici.