Nella pagina sui polinomi abbiamo trattato alcune caratteristiche delle funzioni: uno degli ambiti matematici approfonditi da Newton e Leibniz, il cosiddetto “Calcolo differenziale”, ci aiuta a trovare alcune nuove caratteristiche delle funzioni che saranno fondamentali per la comprensione della fisica.

Funzioni e variazione

Immaginiamo di analizzare un conto in banca: nel 2020 ci sono 50.000 euro, nel 2021 sono 60.000, nel 2022 sono 70.000, nel 2023 sono 80.000…
Si può facilmente ricavare un pattern: ogni anno, questo conto aumenta di 10.000 euro.

Immagazziniamo queste informazioni in una funzione, che indichi i soldi per ciascun anno, e facciamone un grafico.

Se i soldi in funzione del tempo è la nostra funzione di partenza, la crescita del conto nel tempo è quella che viene chiamata la sua derivata: una derivata ci indica quanto una funzione cambi in base alla variazione del parametro di cui è funzione (in questo caso, l’ammontare di soldi è funzione del tempo).
Se quindi prendiamo un intervallo di tempo, ad esempio di un anno, possiamo calcolare la derivata la variazione della funzione diviso la variazione del parametro, cioè nel nostro caso proprio 10.000 euro all’anno. Quindi, una funzione che, al variare del parametro, vari POCO avrà una derivata piccola, mentre se varierà tanto avrà una derivata grande.

e per esempio prendiamo un conto che nel 2020 contiene 100.000 euro, nel 2021 arriva a 105.000 euro e nel 2022 a 110.000 euro, si vede che questo conto, pur contenendo in totale più soldi del precedente, cresce solo di 5.000 euro anno: la sua derivata è infatti inferiore e, se il pattern continua, è destinato a essere alla fine sorpassato dal precedente.

Se invece il conto perdesse 5.000 euro all’anno, la sua derivata sarebbe negativa, mentre se restasse costante la sua derivata sarebbe pari a zero: infatti la derivata di queste funzioni, che sono delle rette, è proprio il coefficiente angolare di queste rette.

Funzioni non costanti

La funzione però potrebbe non avere una crescita costante: basti pensare a una funzione polinomiale di grado superiore al primo, come una parabola di equazione y = -x^2 +4x +2.

In questo caso la funzione cresce, poi arriva a un picco e infine decresce: la derivata è quindi anch’essa una funzione che varia in base al parametro.
In base all’intervallo del parametro che scegliamo, quando andiamo a calcolare il rapporto tra la variazione della funzione e quello del parametro otterremo una variazione media: per assurdo, prendendo solo due valori che siano speculari rispetto alla simmetria della parabola, cioè alla stessa altezza (ad esempio i punti di con x=0 e x=4), non osserveremmo alcuna variazione della funzione.
Per ottenere quindi un valore “puntuale” della derivata quello che faccio è andare a lavorare con intervalli del parametro più piccoli possibili: quindi i due punti che vado a prendere si avvicinano fino a diventare lo stesso, e il valore della derivata diventa il coefficiente angolare della retta che risulta tangente in quel punto (nel caso dei punti x=0 e x=4, si tratta della retta gialla y=4x+2 e della retta rossa y=-4x+18, di coefficiente angolare rispettivamente +4 per la retta gialle e -4 per quella rossa).
Anche in questo caso, dove la funzione cresce, la derivata è positiva, mentre è negativa dove decresce: dove essa è pari a zero, possiamo trovare i punti nei quali la funzione inverte il suo comportamento (in questo caso, il “vertice” della parabola, dove essa cessa di crescere e comincia a decrescere).

Se quindi la derivata è anch’essa una funzione, dovremmo poter ricavare una sua espressione matematica, e nel caso delle funzioni polinomiali questo procedimento è particolarmente semplice:

  1. Lavoriamo con i singoli monomi: la derivata sarà la somma dei nostri risultati
  2. La derivata di un monomio costante è 0.
  3. Per derivare un monomio nel quale appaia l’incognita:
    1. Lo moltiplichiamo per il suo esponente
    2. Sottraiamo “1” all’esponente

Prendiamo quindi y = -x^2 +4x +2

  • Il termine -x^2 viene moltiplicato per il suo esponente (2) ed esso viene poi ridotto di uno: il risultato è -2x
  • Il termine 4x viene moltiplicato per il suo esponente (3) ed esso viene ridotto di uno (se l’esponente è 0, la x si riduce ad essere pari a “1”): il risultato è quindi 4.
  • Il termine +2 è costante, quindi la sua derivata è 0

A questo punto sommiamo i risultati delle tre operazioni e otteniamo -2x+4: questa è la derivata di y, che di solito si esprime come y’.

Se studiamo la funzione derivata, osserviamo che essa è nulla per x= 2, che è proprio il valore del vertice della parabola, mentre è positiva per valori precedenti e negativa per valori successivi: questa espressione quindi mi descrive correttamente l’andamento della funzione originale.

In generale, nei punti in cui la derivata si azzera (che si possono trovare risolvendo y’=0, cioè trovando gli Zeri della funzione derivata), la funzione originale potrebbe presentare dei punti nei quali inverte il suo andamento, cioè passa da una situazione di crescita a una di decrescita o viceversa (i cosiddetti punti di “massimo” e “minimo”): nella funzione d’esempio questo è palese per il valore x=2, che rappresenta il vertice della parabola.

L’ultima nota interessante è che sommando o sottraendo un valore alla funzione originale, questo mi si azzera nella derivata: questo perché ovviamente cominciare, ad esempio, con un capitale iniziale differente ma con lo stesso tasso di crescita, la derivata mi risulterà uguale.
Quindi funzioni che differiscono solo per un termine noto hanno la stessa derivata!