Una funzione è una relazione tra due grandezze che ci dice quali valori acquisisca una delle due al variare dell’altra. Per esempio, se io ho due grandezze “x” e “y” e dico che “y è il doppio di x”, per ogni valore di x posso calcolare il relativo valore di y semplicemente raddoppiandola.
Talvolta la funzione viene chiama f(x) e quindi possiamo scrivere y=f(x) oppure, in questo caso y=2x o f(x) = 2x.
Diverse caratteristiche di una funzione si possono ottenere tramite un piano cartesiano che abbia l’incognita iniziale nell’asse orizzontale e la funzione in quello verticale

Le Funzioni Polinomiali

  • Sebbene per alcuni valori un polinomio si azzeri (i suoi Zeri), in generale potrà acquisire molti valori in base al valore dell’incognita: possiamo associare a ogni possibile valore dell’incognita x una seconda lettera y che rappresenta il risultato che il polinomio assume per quel valore di x.
    Questo tipo di relazione è detta funzione polinomiale.

    Quindi ad esempio, scrivendo l’equazione y = 2x-6:
    • Per x = -1 ho y = -10
    • Per x = 0 ho y = -6
    • Per x = 3 ho y = 0
    • Per x = 4 ho y = 2 e così via
  • Per ogni coppia di valori x e y, mettiamo un puntino nelle relative coordinate di un piano cartesiano.
    Così facendo, con molti valori, troviamo questo grafico per la nostra funzione y = 2x-6:
  • Osserviamo alcune caratteristiche: per x=3, la y=0 come potevamo aspettarci, trattandosi infatti dello zero della funzione.  Quindi, quando una funzione tocca l’asse delle x, li c’è un suo zero!
  • Alcuni di punti stanno sopra l’asse delle x, in questo caso per x superiore a 3, e altri sotto: ai primi corrispondono valori positivi di y e agli altri negativi, come si può facilmente confermare dai calcoli precedenti.
  • Infine il grafico ci appare una retta: questo è vero per tutte le funzioni polinomiali di primo grado.
    Tutte queste funzioni si possono scrivere come y= mx+q dove m è il coefficiente che moltiplica la x, detto “coefficiente angolare“, e la q è  il termine noto pari al valore y per il quale la x è 0 (si può osservare dal grafico che la nostra retta passa proprio per il punto di coordinate x=0 e y=-6).
    Il coefficiente angolare invece determina se la retta salga andando verso destra, cioè sia “crescente”, per m positivi; sia decrescente per m negativi e orizzontale per m=0, come nell’immagine seguente.
  • Funzioni polinomiali di grado differente ci danno grafici molto diversi: per esempio, qui in blu una funzione polinomiale di secondo grado (una cosiddetta “parabola”) e in rosso una di terzo grado.
    Si può ben vedere che la prima ha due zeri mentre la terza ne ha tre.
    Potrebbero entrambe avere meno “zeri”: provate a immaginare di abbassare i grafici delle funzioni.
    La parabola, scendendo, arriverà a toccare l’asse x nel suo solo “vertice”, il punto massimo (l’equazione “Polinomio=0” avrà una sola soluzione) e, se scende ancora, non toccherà affatto l’asse delle x (nessuna soluzione all’equazione).
    Il polinomio di terzo grado invece, salendo o scendendo oltre le “gobbe”, mantiene un unico punto di contatto con l’asse delle x.

Le funzioni polinomiali sono molto diffuse in fisica, soprattutto quelle di primo e secondo grado, ma esistono anche altri tipi di funzioni: facciamo alcun esempi.

  • Il “valore assoluto” di un valore è quella funzione che ci restituisce quel numero, ma sempre positivo: il valore assoluto di x si indica |x|
  • Non è detto che la mia incognita sia a numeratore: in questo caso parliamo di funzioni fratte, che si possono in alcuni casi esprimere anche tramite polinomi con esponente negativo.
    Nello specifico, x elevato a un numero negativo è un altro modo per scrivere 1 / x elevato allo stesso numero, ma positivo.
  • Se il mio esponente è frazionario, mi troverò di fronte a una radice: nello specifico la radice quadrata di x si può scrivere come x1/2. Trovare la radice quadrata di un numero significa trovare quel numero che, elevato alla seconda, fornisce il valore del quale faccio la radice. Quindi ad esempio trovare la radice quadrata di 9 significa trovare quel numero che al quadrato fa 9 (cioè 3 o al limite -3).
  • Esistono poi delle funzioni legate alle potenze, nelle quali però la x non è alla base ma all’esponente: si tratta giust’appunto delle funzioni esponenziali, delle quali la più famose è f(x) = ex, dove “e” è detto “Numero di Eulero” o “Numero di Nepero” e vale circa 2,72.
    Al variare del valore di x, quindi, la mia base sarà elevata a potenze sempre diverse.
  • Il contrario delle funzioni esponenziali sono i logaritmi: se dico che il logaritmo in base “a” di “b” mi da “c” (logab=c) vuol dire che elevando ac otterrò b. Anche stavolta il logaritmo più famoso è quello che ha come base “e”, detto “logaritmo naturale” (ln x)

Per concludere, ecco un grafico di una radice, una funzione fratta, un’esponenziale e un logaritmo. Come si può facilmente notare, non tutte le funzioni hanno valori positivi o negativi e alcune non toccano nemmeno l’asse delle x, pur magari avvicinandosi ad essa.